문제 설명
비밀 연구소의 높은 장벽 앞에는 침입자를 식별할 수 있는 \(N\)개의 센서가 놓여 있다. 장벽은 일직선으로 뻗어있어서, 직선 상의 구간 \([0, L]\)로 나타내고, 센서는 이 구간 안에 놓인 점으로 나타내자.
센서는 식별 범위 \(r\)를 가지며, 이 범위는 모든 센서에 대하여 동일하다. 다시 말해서, 점 \(p\)에 있는 센서는 구간 \([p − r, p + r]\)에 속한 침입자를 식별할 수 있다. 이 구간을 센서의 식별 구간이라고 한다
장벽의 경계를 담당하는 하나의 로봇이 존재하고, 이 로봇은 초기에 장벽의 왼쪽 끝에 위치한다. 로봇은 장벽을 따라 좌우로 움직이면서 센서를 실어서 옮길 수 있다. 로봇은 자기 위치에서만 센서를 실거나 놓을 수 있다. 그러나, 로봇이 한 번에 실을 수 있는 센서의 개수에는 제한이 없다
모든 센서의 식별 구간의 합집합이 장벽 [0, L]을 완전히 포함한다면, 센서가 완벽한 경계에 있다고 한다. 로 봇은 완벽한 경계를 위하여 필요하면 센서를 실어서 옮겨야 한다. 이때, 로봇이 움직인 총 거리를 최소화해야 한다.
장벽 \([0, L]\)과 센서 \(N\)개의 초기 위치, 센서의 식별 범위 \(r\)이 주어질 때, 완벽한 경계를 위해서 로봇이 움직여야 하는 총 거리의 최솟값을 출력하는 프로그램을 작성하시오.
입력 설명
첫 번째 줄에 각각 센서의 개수와 장벽의 길이, 센서의 식별 범위를 나타내는 세 정수 \(N, L, r\)이 공백을 사이에 두고 주어진다.
두 번째 줄에 센서들의 초기 위치를 나타내는 \(N\)개의 정수가 공백을 사이에 두고 단조증가하는 순서대로 주어진다. 즉, \(N\)개의 정수가 정렬된 상태로 주어진다.
- \(1 \le N \le 1 000 000\)
- \(1 \le L \le 1012\)
- \(1 \le r \le 1012\)
- \(L\)과 \(r\)은 모두 정수이다.
- 모든 센서의 초기 위치는 0 이상 \(L\) 이하인 정수이다.
- 모든 센서의 초기 위치는 단조증가하는 순서대로 주어진다.
- (12점) \(N \le 10, L \le 100, r \le 10 2. \)
- (7점) \(N \le 30, L \le 2 000, r \le 30 3. \)
- (12점) \(N \le 500 4. \)
- (28점) \(N \le 2 500 5. \)
- (41점) 추가 제약 조건 없음.
출력 설명
만약 센서들을 어떻게 배치하더라도 완벽한 경계를 할 수 없다면, 첫 번째 줄에 −1을 출력한다.
만일 완벽한 경계가 가능하다면, 첫 번째 줄에 완벽한 경계를 위해 로봇이 움직여야 하는 총 거리의 최솟 값을 출력한다. 이 값은 항상 정수임을 증명할 수 있다.
입력 예시 Copy
2 7 2
3 6
출력 예시 Copy
4
도움
첫 번째 예제의 경우, 다음과 같이 로봇이 움직이는 것이 최적이다.
- 0에 위치한 로봇이 3으로 이동한다.
- 현 위치에 놓여 있는 센서를 싣는다.
- 3에 위치한 로봇이 2로 이동한다.
- 실은 센서를 현 위치에 놓는다.
이때, 센서의 최종 위치는 2, 6이며, 센서의 식별 구간의 합집합은 [0, 8]로, 장벽 [0, 7]을 완전하게 포함한다. 로봇이 움직인 총 거리는 4이며, 이보다 적게 움직여서 완벽한 경계를 할 수 없으므로, 답은 4이다. 두 번째 예제의 경우, 다음과 같이 로봇이 움직이는 것이 최적이다.
- 현 위치 0에 놓여 있는 센서 두 개를 모두 싣는다.
- 0에 위치한 로봇이 1.5로 이동한다.
- 실은 센서 중 하나를 현 위치에 놓는다.
- 1.5에 위치한 로봇이 7로 이동한다.
- 남은 센서 하나를 현 위치에 놓는다.
이와 같이, 로봇이 센서를 정수가 아닌 위치에 놓을 수 있음에 유의하라.